Dominio e Imagen de una Función

Una función es una relación (pero con algunos ingredientes
adicionales). Por lo tanto están definidos los conceptos de dominio e imagen de una función.

Definición de Relación (Matemáticas).

Dados dos conjuntos A y B, una relación R entre A y B es un subconjunto del producto cartesiano AXB.

Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad

La Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad  dan información sobre el comportamiento de una Funciòn

Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

"Inyectividad" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").

"Sobreyectividad" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).

"Biyectividad" significa inyectividad y sobreyectividad a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

Definiciones formales

Inyectividad

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x² del conjunto de los números naturales  a  es una función inyectiva.

(Pero f(x) = x² no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros  (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

• f(2) = 4 y
• f(-2) = 4)

Sobreyectividad (o también "epiyectividad")

Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en Aque cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  al de los números pares no negativos es sobreyectiva.

Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  a  no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de  va al 3 por esta función.

Biyectividad

Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y

Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: La función f(x) = x² del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo

• f(2)=4 y
• f(-2)=4)

Álgebra Elemental

Recopilación de vídeos de Álgebra Elemental del canal TareasPlus

Personajes Historicos en Matemática: Emmy Noether

Emmy Noether es una de las matemáticas más importantes y brillantes de la historia. A día de hoy, sus contribuciones son esenciales en el desarrollo del álgebra y la física fundamental.

Considerada por Albert Einstein y David Hilbert como la mujer más importante en la historia de las matemáticas, Emmy Noether, de origen judío, tuvo que lidiar toda su vida con una sociedad científica que todavía no estaba preparada para ver la igualdad inherente en todas las personas. Bien por su condición de mujer, bien por su etnia y cultura, esta profesora fue rechazada en varias ocasiones como docente en la universidad hasta que su eminente e impresionante trabajo se impuso a cualquier prejuicio. Sus aportaciones han sido insustituibles y de una importancia capital para el mundo de las matemáticas y la física actual. Podemos decir, sin miedo a equivocarnos, que sin las aportaciones de Emmy Noether hoy día la ciencia no sería lo que es.
Durante su vida, Emmy Noether fue capaz de asentar las bases de lo que hoy día conocemos como álgebra abstracta, una materia que estudia ciertas estructuras algebraicas de difícil definición pero muy necesarias para el desarrollo de esta disciplina. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con detenimiento las afirmaciones lógicas en las que se basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de esta disciplina. Más fácil de comprender, tal vez, sea su aporte a la física teórica, a la cual le concedió el denominado teorema de Noether. 
Este ocupa el lugar central dentro de los resultados de la física ya que permite explicar (o comprobar) que cualquier simetría proveniente de un sistema físico está sujeta a una ley de conservación.Para que lo entendamos, este teorema constituye una explicación de por qué existen leyes de conservación y magnitudes físicas que no cambian a lo largo de la evolución de un sistema físico estudiado. Además, permite aplicaciones prácticas concretas muy importantes en el estudio y aplicación de la física. Por ello, el teorema de Noether es considerado como "uno de los teoremas matemáticos más importantes jamás probados de entre los que guían el desarrollo de la física moderna". Pero además de estas dos importantes aportaciones, Emmy Noether es la responsable de originar y cimentar otras importantísimas ideas en el mundo de las matemáticas. Como decíamos, el álgebra nunca volvió a ser lo mismo gracias a Noether, y desde que se puso manos a la obra, el tratamiento de esta disciplina ha cambiado profundamente.Participó en el desarrollo de la teoría de la invariante algebraica, probando la existencia de una base infinita; 
El teorema de Noether permitió demostrar que la relatividad formulada por Einstein no violaba, de manera alguna, las leyes de conservación. Sin embargo, el corpus de su trabajo residen en los cimientos teóricos con los que trabajó: condiciones ascendentes y descendentes de cadena, los anillos conmutativos, la teoría de la eliminación o la de los invariantes de grupos infinitos. Además, sus contribuciones desinteresadas son famosas por aportar ideas fundamentales al desarrollo de teorías complejas aportadas por otros científicos. Algunos ejemplos son los relacionados con la topología de Alexandrov y Hopf. También fue importantísima su contribución en el mundo de los números hipercomplejos y, cómo no, el álgebra conmutativa, entre otras y sutiles contribuciones. Si algo podemos decir de Emmy Noether es que resulta un increíble ejemplo de perseverancia y amor por lo que hacía. La matemática, en sus apenas 53 años, no solo marcó profundamente su huella en la historia de las matemáticas y la física. Además lo hizo contra viento y marea. Su vida no fue sencilla y tuvo que enfrentarse en numerosas ocasiones al rechazo. Incluso fue expulsada de su país natal, Alemania, por su ascendencia judía. Pero su historia, aunque condicionó sus aportaciones, lo hizo en un sentido positivo. 
Nacida en Baviera, hija de un matemático, sus primera intención fue la de enseñar lenguas extranjeras, aunque cambió de opinión y terminó dedicándose a las matemáticas. En sus primeros años, debido a su condición de mujer, fue criticada y, en cierta medida, rechazada por algunos de sus compañeros.Durante siete años estuvo trabajando en el instituto matemático de Erlangen sin cobrar absolutamente nada. Pero su mente brillante la hicieron no pasar desapercibida. En 1915, Klein y Hilbert la invitaron a explicar como su idea central, la que daría cuerpo al "teorema de Noether", podía aplicarse a la reciente teoría de la relatividad de Einstein. Comenzó a trabajar, entonces, en la universidad de Gotinga, en el departamento de matemáticas, aunque la facultad de filosofía opuso serias objeciones, por lo que tuvo que "sustituir" a Hilbert durante cuatro años en sus clases. Pero aún así, Emmy Noether continuó iluminando las mentes de los denominados "chicos de Noether", matemáticos que más tarde pondrían su propio nombre entre los hitos de la historia de las matemáticas. En 1919, al fin, fue reconocida como docente de la universidad, donde continuó hasta 1933.Con la llegada del partido Nazi al poder, su reconocimiento se vio empañado y fue expulsada, como tantos otros judíos, de los puestos importantes (y no importantes) del mundo académico.
 Finalmente huyó a Estados Unidos, aún conservando el reconocimiento de la comunidad científica a pesar de las vicisitudes de su vida. Poco después, en 1935, tuvo que ser operada de un quiste ovárico, del cual no se recuperó a pesar del buen pronóstico. A día de hoy su muerte todavía parece un tanto misteriosa debido a la velocidad con la que ocurrió a pesar de su buen estado de salud. Si algo se recuerda de Emmy Noether, de carácter amable y brillante, es que contribuía en las clases y lecturas a las que asistía con ideas sutiles y claras. 
Muchos de los que la escuchaban afirman que era capaz de inspirar directamente con sus palabras. Unas palabras que cambiaron el curso de las matemáticas para siempre.

Función. Propiedad de Existencia y Unicidad de Funciones.

Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una relación entre A y B, es decir: que satisface:

Representación gráfica de las relaciones

Los pares ordenados se pueden representar gráficamente
por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos
en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación
definida por la regla
R = {( x , y ) / y = 2 x + 1}, graficar R.
Solución
Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que
cumplen con y = 2x + 1) son:
R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4,
9)}
Y la gráfica correspondiente es la siguiente:

Dominio e Imagen de una Relación

El dominio de una relación es el conjunto de
preimágenes; es decir, el conjunto formado por los
elementos del conjunto de partida que están relacionados.
Al conjunto de imágenes , esto es, elementos del conjunto
de llegada que están relacionados, se le denomina
recorrido o rango .
Ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación
definida de A en B determinada por la regla “ y es el
doble de x ” o “ y = 2 x ”, encontrar dominio y rango de la
relación.
Solución:
El total de pares ordenados que podemos formar, o
producto cartesiano es:
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5),
(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8),
(4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x)
son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4,
8)}
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto
es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2
es preimagen de 4”.
Así, el dominio y rango son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y
el conjunto de partida?
En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida,
por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.
Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es
elemento del rango?
La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.

Relación y Función

Entender los conceptos de Relación y de Función es de
suma importancia en Matemática.
Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en
la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel
fundamental en las relaciones y funciones.
Lo primero es entender que Correspondencia es
equivalente a Relación . En nuestra lengua, decir “en
relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”.
Ejemplos:
En una tienda comercial, cada artículo está relacionado
con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un
precio.
En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con
un número; o sea, a cada nombre de la guía le
corresponde un número.

Definición matemática de Relación y de Función:
En matemática, Relación es la correspondencia de un
primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo
conjunto, llamado Recorrido o Rango , de manera que a
cada elemento del Dominio le corresponde uno o más
elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se
añade la condición de que a cada valor del Dominio le
corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas
las funciones son relaciones , pero no todas las
relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una
Relación , pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano
Cartesiano.