Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad

La Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad  dan información sobre el comportamiento de una Funciòn

Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

"Inyectividad" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").

"Sobreyectividad" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).

"Biyectividad" significa inyectividad y sobreyectividad a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

Definiciones formales

Inyectividad

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x² del conjunto de los números naturales  a  es una función inyectiva.

(Pero f(x) = x² no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros  (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

• f(2) = 4 y
• f(-2) = 4)

Sobreyectividad (o también "epiyectividad")

Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en Aque cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  al de los números pares no negativos es sobreyectiva.

Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  a  no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de  va al 3 por esta función.

Biyectividad

Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y

Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: La función f(x) = x² del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo

• f(2)=4 y
• f(-2)=4)

Representación gráfica de las relaciones

Los pares ordenados se pueden representar gráficamente
por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos
en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación
definida por la regla
R = {( x , y ) / y = 2 x + 1}, graficar R.
Solución
Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que
cumplen con y = 2x + 1) son:
R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4,
9)}
Y la gráfica correspondiente es la siguiente:

Dominio e Imagen de una Relación

El dominio de una relación es el conjunto de
preimágenes; es decir, el conjunto formado por los
elementos del conjunto de partida que están relacionados.
Al conjunto de imágenes , esto es, elementos del conjunto
de llegada que están relacionados, se le denomina
recorrido o rango .
Ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación
definida de A en B determinada por la regla “ y es el
doble de x ” o “ y = 2 x ”, encontrar dominio y rango de la
relación.
Solución:
El total de pares ordenados que podemos formar, o
producto cartesiano es:
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5),
(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8),
(4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x)
son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4,
8)}
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto
es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2
es preimagen de 4”.
Así, el dominio y rango son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y
el conjunto de partida?
En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida,
por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.
Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es
elemento del rango?
La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.

Relación y Función

Entender los conceptos de Relación y de Función es de
suma importancia en Matemática.
Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en
la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel
fundamental en las relaciones y funciones.
Lo primero es entender que Correspondencia es
equivalente a Relación . En nuestra lengua, decir “en
relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”.
Ejemplos:
En una tienda comercial, cada artículo está relacionado
con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un
precio.
En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con
un número; o sea, a cada nombre de la guía le
corresponde un número.

Definición matemática de Relación y de Función:
En matemática, Relación es la correspondencia de un
primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo
conjunto, llamado Recorrido o Rango , de manera que a
cada elemento del Dominio le corresponde uno o más
elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se
añade la condición de que a cada valor del Dominio le
corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas
las funciones son relaciones , pero no todas las
relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una
Relación , pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano
Cartesiano.