8) Datos Curioso sobre Matemáticas

1) Símbolo de igualdad:
Las dos rayas = que indican igualdad las empezó a utilizar un matemático inglés llamado Robert Recorde que vivió hace más de cuatrocientos años. En uno de sus libros cuenta que eligió ese signo porque “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”


2) Fibonacci:
Si cuentas las escamas de una piña, observarás sorprendido que aparecen en espiral alrededor del vértice en número igual a los términos de la sucesión de Fibonacci 

3) Sistema Decimal:
El hecho de que tengamos diez dedos en las manos y diez dedos en los pies, ha determinado la adopción del sistema decimal de numeración; aunque con el correr de los siglos se han propuesto y utilizado otros sistemas.


4) Sistema Sexadecimal:

El sistema sexagesimal (base 60) fue creado por los babilonios hacia el año 200 antes de Cristo y se usa todavía para medir el tiempo y los ángulos.


5) Número Cero:

La palabra cero deriva probablemente de “zephirum”, forma latinizada del árabe “sifr” que es, a su vez, una traducción de la palabra hindú “sunya” que significa vacío o nada.

6) Probabilidad
La teoría de probabilidad tiene su origen en los juegos de azar. Hacia 1650, en Francia, un jugador llamado De Mére consultó al matemático Blaise Pascal algunas cuestiones relacionadas con el juego de dados. Pascal mantuvo correspondencia con Fermat, Huygens y Bernoulli. Gracias a todos ellos, la teoría de la probabilidad pasó de ser una mera colección de problemas aislados, relativos a algunos juegos, a ser un sector importante de las matemáticas.


7) Geometría

La geometría (medición de tierra) se inició, como ciencia, en el antiguo Egipto y en Babilonia por la necesidad de realizar mediciones terrestres.


8) El símbolo de coma

El primero en usar la coma para separar la parte decimal de la fraccionaria fue el astrónomo italiano Giovanni Magini. La invención de los logaritmos generalizó el uso de los números decimales y el escocés John Napier, inventor de los logaritmos neperianos, recomendó en 1617 el uso del punto; el caos siguió durante todo el siglo XVIII aunque al final solo quedaron en competencia el punto y la coma. En el continente europeo el asunto se resolvió en 1698, cuando Leibnitz, propuso usar el punto como símbolo de multiplicación (“en lugar del signo x, que se confunde con x, la incógnita”); quedó así la coma para separar la parte decimal del número. En Inglaterra, sin embargo, donde se habían cerrado las puertas al alemán Leibnitz, se siguió utilizando el símbolo x para la multiplicación y el punto para separar los decimales. En España y América también se usó, y se sigue aceptando, la coma elevada.

Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad

La Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad  dan información sobre el comportamiento de una Funciòn

Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

"Inyectividad" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").

"Sobreyectividad" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).

"Biyectividad" significa inyectividad y sobreyectividad a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

Definiciones formales

Inyectividad

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x² del conjunto de los números naturales  a  es una función inyectiva.

(Pero f(x) = x² no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros  (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

• f(2) = 4 y
• f(-2) = 4)

Sobreyectividad (o también "epiyectividad")

Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en Aque cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  al de los números pares no negativos es sobreyectiva.

Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  a  no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de  va al 3 por esta función.

Biyectividad

Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y

Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: La función f(x) = x² del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo

• f(2)=4 y
• f(-2)=4)

Personajes Históricos en Matemática: David Hilbert

(Wehlan, actual Alemania, 1862 - Gotinga, id., 1943) Matemático alemán. Su padre era juez, y fue destinado al poco de su nacimiento a Königsberg, donde David recibió su educación y en cuya universidad inició los estudios de matemáticas. Estudió también en las universidades de Heidelberg y de Berlín, asistiendo en esta última a los cursos de Weierstrass, Kummer, Helmholtz y Kronecker.

David Hilbert

A finales de 1884 se doctoró en Königsberg, poco antes de que hiciera lo propio su amigo Hermann Minkowski. La tesis de Hilbert trataba de los invariantes algebraicos, un tema que le propuso su joven profesor F. Lindemann, quien dos años antes había demostrado que «pi» es un número trascendente.

Viajó después a Leipzig, donde asistió a las clases de Felix Klein, y a París, donde conoció a Henri Poincaré, Camille Jordan y Charles Hermite. De regreso a Königsberg, en 1886 inició allí su carrera académica como privatdozent; siete años más tarde, cuando Lindemann marchó a Berlín, Hilbert accedió al cargo de profesor ordinario por recomendación de Klein, por entonces profesor en Gotinga; a esta universidad se incorporó también Hilbert en 1895, de nuevo por intervención de Klein, y en ella desarrolló el resto de su carrera profesional.

En Gotinga centró su atención en la geometría, tratando de plasmar en ese nuevo interés una idea que alimentaba desde mucho antes: lo importante no es la naturaleza de los objetos geométricos, sino la de sus interrelaciones. En su obra de 1899, dedicada a proporcionar a la geometría euclidiana una fundamentación estrictamente axiomática y que ha ejercido una gran influencia sobre el desarrollo de la matemática en el siglo XX, realizó el primer esfuerzo sistemático y global para hacer extensivo a la geometría el carácter puramente formal que ya habían adquirido la aritmética y el análisis matemático.

En el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París en 1900, Hilbert presentó una lista de veintitrés problemas que a la sazón no habían sido resueltos todavía; a su juicio, las probables líneas de desarrollo que iba a seguir la matemática del siglo XX habrían de estar en buena medida vinculadas a la resolución de dichas cuestiones. Sus trabajos posteriores desembocaron en la concepción de los espacios de infinitas dimensiones llamados espacios de Hilbert, base del moderno análisis funcional.

A partir del año 1904, empezó a desarrollar un programa para dotar de una base axiomática a la lógica, la aritmética y la teoría de conjuntos, con el objetivo último de axiomatizar toda la matemática. Aunque su propósito de demostrar la consistencia de la aritmética había de verse frustrado por los resultados posteriores (1931) obtenidos por Kurt Gödel, el programa de formalización de Hilbert contribuyó al desarrollo de la llamada metamatemática, como método para establecer la consistencia de cualquier sistema formal.

Álgebra Elemental

Recopilación de vídeos de Álgebra Elemental del canal TareasPlus

Personajes Historicos en Matemática: Emmy Noether

Emmy Noether es una de las matemáticas más importantes y brillantes de la historia. A día de hoy, sus contribuciones son esenciales en el desarrollo del álgebra y la física fundamental.

Considerada por Albert Einstein y David Hilbert como la mujer más importante en la historia de las matemáticas, Emmy Noether, de origen judío, tuvo que lidiar toda su vida con una sociedad científica que todavía no estaba preparada para ver la igualdad inherente en todas las personas. Bien por su condición de mujer, bien por su etnia y cultura, esta profesora fue rechazada en varias ocasiones como docente en la universidad hasta que su eminente e impresionante trabajo se impuso a cualquier prejuicio. Sus aportaciones han sido insustituibles y de una importancia capital para el mundo de las matemáticas y la física actual. Podemos decir, sin miedo a equivocarnos, que sin las aportaciones de Emmy Noether hoy día la ciencia no sería lo que es.
Durante su vida, Emmy Noether fue capaz de asentar las bases de lo que hoy día conocemos como álgebra abstracta, una materia que estudia ciertas estructuras algebraicas de difícil definición pero muy necesarias para el desarrollo de esta disciplina. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con detenimiento las afirmaciones lógicas en las que se basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de esta disciplina. Más fácil de comprender, tal vez, sea su aporte a la física teórica, a la cual le concedió el denominado teorema de Noether. 
Este ocupa el lugar central dentro de los resultados de la física ya que permite explicar (o comprobar) que cualquier simetría proveniente de un sistema físico está sujeta a una ley de conservación.Para que lo entendamos, este teorema constituye una explicación de por qué existen leyes de conservación y magnitudes físicas que no cambian a lo largo de la evolución de un sistema físico estudiado. Además, permite aplicaciones prácticas concretas muy importantes en el estudio y aplicación de la física. Por ello, el teorema de Noether es considerado como "uno de los teoremas matemáticos más importantes jamás probados de entre los que guían el desarrollo de la física moderna". Pero además de estas dos importantes aportaciones, Emmy Noether es la responsable de originar y cimentar otras importantísimas ideas en el mundo de las matemáticas. Como decíamos, el álgebra nunca volvió a ser lo mismo gracias a Noether, y desde que se puso manos a la obra, el tratamiento de esta disciplina ha cambiado profundamente.Participó en el desarrollo de la teoría de la invariante algebraica, probando la existencia de una base infinita; 
El teorema de Noether permitió demostrar que la relatividad formulada por Einstein no violaba, de manera alguna, las leyes de conservación. Sin embargo, el corpus de su trabajo residen en los cimientos teóricos con los que trabajó: condiciones ascendentes y descendentes de cadena, los anillos conmutativos, la teoría de la eliminación o la de los invariantes de grupos infinitos. Además, sus contribuciones desinteresadas son famosas por aportar ideas fundamentales al desarrollo de teorías complejas aportadas por otros científicos. Algunos ejemplos son los relacionados con la topología de Alexandrov y Hopf. También fue importantísima su contribución en el mundo de los números hipercomplejos y, cómo no, el álgebra conmutativa, entre otras y sutiles contribuciones. Si algo podemos decir de Emmy Noether es que resulta un increíble ejemplo de perseverancia y amor por lo que hacía. La matemática, en sus apenas 53 años, no solo marcó profundamente su huella en la historia de las matemáticas y la física. Además lo hizo contra viento y marea. Su vida no fue sencilla y tuvo que enfrentarse en numerosas ocasiones al rechazo. Incluso fue expulsada de su país natal, Alemania, por su ascendencia judía. Pero su historia, aunque condicionó sus aportaciones, lo hizo en un sentido positivo. 
Nacida en Baviera, hija de un matemático, sus primera intención fue la de enseñar lenguas extranjeras, aunque cambió de opinión y terminó dedicándose a las matemáticas. En sus primeros años, debido a su condición de mujer, fue criticada y, en cierta medida, rechazada por algunos de sus compañeros.Durante siete años estuvo trabajando en el instituto matemático de Erlangen sin cobrar absolutamente nada. Pero su mente brillante la hicieron no pasar desapercibida. En 1915, Klein y Hilbert la invitaron a explicar como su idea central, la que daría cuerpo al "teorema de Noether", podía aplicarse a la reciente teoría de la relatividad de Einstein. Comenzó a trabajar, entonces, en la universidad de Gotinga, en el departamento de matemáticas, aunque la facultad de filosofía opuso serias objeciones, por lo que tuvo que "sustituir" a Hilbert durante cuatro años en sus clases. Pero aún así, Emmy Noether continuó iluminando las mentes de los denominados "chicos de Noether", matemáticos que más tarde pondrían su propio nombre entre los hitos de la historia de las matemáticas. En 1919, al fin, fue reconocida como docente de la universidad, donde continuó hasta 1933.Con la llegada del partido Nazi al poder, su reconocimiento se vio empañado y fue expulsada, como tantos otros judíos, de los puestos importantes (y no importantes) del mundo académico.
 Finalmente huyó a Estados Unidos, aún conservando el reconocimiento de la comunidad científica a pesar de las vicisitudes de su vida. Poco después, en 1935, tuvo que ser operada de un quiste ovárico, del cual no se recuperó a pesar del buen pronóstico. A día de hoy su muerte todavía parece un tanto misteriosa debido a la velocidad con la que ocurrió a pesar de su buen estado de salud. Si algo se recuerda de Emmy Noether, de carácter amable y brillante, es que contribuía en las clases y lecturas a las que asistía con ideas sutiles y claras. 
Muchos de los que la escuchaban afirman que era capaz de inspirar directamente con sus palabras. Unas palabras que cambiaron el curso de las matemáticas para siempre.

Función. Propiedad de Existencia y Unicidad de Funciones.

Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una relación entre A y B, es decir: que satisface:

Ejercicio para pequeños matemáticos III

Ayuda a Suzy a descifrar la cantidad de huevos:

Ejercicio para pequeños matemáticos II

Ayuda a Suzy con el siguiente enigma:

Ejercicio para pequeños matemáticos

Ayuda a Suzy con su problema:

Representación gráfica de las relaciones

Los pares ordenados se pueden representar gráficamente
por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos
en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación
definida por la regla
R = {( x , y ) / y = 2 x + 1}, graficar R.
Solución
Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que
cumplen con y = 2x + 1) son:
R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4,
9)}
Y la gráfica correspondiente es la siguiente:

Dominio e Imagen de una Relación

El dominio de una relación es el conjunto de
preimágenes; es decir, el conjunto formado por los
elementos del conjunto de partida que están relacionados.
Al conjunto de imágenes , esto es, elementos del conjunto
de llegada que están relacionados, se le denomina
recorrido o rango .
Ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación
definida de A en B determinada por la regla “ y es el
doble de x ” o “ y = 2 x ”, encontrar dominio y rango de la
relación.
Solución:
El total de pares ordenados que podemos formar, o
producto cartesiano es:
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5),
(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8),
(4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x)
son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4,
8)}
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto
es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2
es preimagen de 4”.
Así, el dominio y rango son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y
el conjunto de partida?
En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida,
por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.
Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es
elemento del rango?
La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.

Relación y Función

Entender los conceptos de Relación y de Función es de
suma importancia en Matemática.
Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en
la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel
fundamental en las relaciones y funciones.
Lo primero es entender que Correspondencia es
equivalente a Relación . En nuestra lengua, decir “en
relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”.
Ejemplos:
En una tienda comercial, cada artículo está relacionado
con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un
precio.
En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con
un número; o sea, a cada nombre de la guía le
corresponde un número.

Definición matemática de Relación y de Función:
En matemática, Relación es la correspondencia de un
primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo
conjunto, llamado Recorrido o Rango , de manera que a
cada elemento del Dominio le corresponde uno o más
elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se
añade la condición de que a cada valor del Dominio le
corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas
las funciones son relaciones , pero no todas las
relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una
Relación , pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano
Cartesiano.

Funciones

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

f: AB
El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x).

luego Y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

x      

Conjunto inicial Conjunto final

Problemas de áreas

1 Hallar la diagonal, el perímetro y el área del cuadrado:

2 Hallar la diagonal, el perímetro y el área del rectángulo:

3 Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:

4 Hallar el perímetro y el área del trapecio isósceles:

5 Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero:

6 Hallar el perímetro y el área del pentágono regular :

7 Hallar el área de un hexágono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

8 Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.

9 Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.

10 Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.

11 En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

12 El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

13 Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.

14 El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

15 En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

16 A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

17 En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

18 Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

19 Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.

20 Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

21 Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

Cuerpos geométricos con geometría dinámica

Geometría

La Geometría trata sobre las formas y sus propiedades.

Los dos temas más comunes son: 

	Geometría Plana (sobre formas planas como líneas rectas, círculos y triángulos... formas que se pueden dibujar en un trozo de papel)
	Geometría Sólida (sobre objetos tridimensionales como cubos y pirámides).

La Geometría Sólida es la geometría del espacio tridimensional, el tipo de espacio donde vivimos...

	Poliedros: (deben tener caras planas)	Sólidos Platónicos Prismas Pirámides
	No Poliedros: (si alguna superficie no es plana)	Esfera Toro Cilindro Cono

Geometría con Palillos